Dieses Textbook soll zeigen, wie man komplexe Funktionen anhand ihrer Operationen auf frei
wählbaren Gebilden darstellen kann. Insbesondere wird gezeigt, wie die Hooke- und Newton-
Kegelschnitte aus einfachen Kreisen und Geraden erzeugt werden können mithilfe der Zhukovskii- und der Bohlin-Abbildung (vgl. V.I. Arnol'd, "Huygens & Barrow, Newton & Hooke", Birkhäuser 1990, Appendix 1 )

Zshu[z_]:=z+(1/z)

Squ[z_]:=(z^2)

Boh[z_]:=Composition[Squ,Zshu][z]

Tr2[z_]:=z+2

Es gilt die folgende Identität aufgrund der Definitionen :

Squ   ˚    Zshu    =    Boh    =    Tr2   ˚    Zshu   ˚   Squ

MyCircle[t_,r_]:=r Cos[t]+I r Sin[t]

MyLine[t_,a_]:=t a

MySpecial[t_,r_]:=t+I r

Null

NewtonEllipse[a_,r_]:=Block[{},ParametricPlot[{Re[Squ[a Zshu[MyCircle[t,r]]]],Im[Squ[a Zshu[MyCircle[t,r]]]]},{t,0,2 π},AspectRatio->Automatic,Epilog->{RGBColor[0,0,1],Line[{{Re[6 (a^2)],Im[6 (a^2)]},{Re[-2 (a^2)],Im[-2 (a^2)]}}],Line[{{Re[(2+4 I) (a^2)],Im[(2+4 I) (a^2)]},{Re[(2-4 I) (a^2)],Im[(2-4 I) (a^2)]}}],PointSize[0.025],RGBColor[1,0,0],Point[{Re[4 (a^2)],Im[4 (a^2)]}],Point[{0,0}]}]]

NewtonEllipse[2+4 I,1.4]

NewtonEllipse[2+0.8I,1.9]

Null

HookeEllipse[a_,r_]:=Block[{},ParametricPlot[{Re[a Zshu[MyCircle[t,r]]],Im[a Zshu[MyCircle[t,r]]]},{t,0,2 π},AspectRatio->Automatic,Epilog->{RGBColor[0,0,1],Line[{{Re[4 a],Im[4 a]},{Re[-4 a],Im[-4 a]}}],Line[{{-Im[4 a],Re[4 a]},{+Im[4 a],-Re[4 a]}}],PointSize[0.025],RGBColor[1,0,0],Point[{Re[2 a],Im[2 a]}],Point[{-Re[2 a],-Im[2 a]}]}]]

HookeEllipse[2+3 I,2.7]

HookeHyperbola[a_,r_]:=Block[{},ParametricPlot[{{Re[a Zshu[MyLine[t,r]]],Im[a Zshu[MyLine[t,r]]]},{Re[-a Zshu[MyLine[t,r]]],Im[-a Zshu[MyLine[t,r]]]}},{t,0.02,4},AspectRatio->1,PlotRange->{{-10,10},{-10,10}},Epilog->{RGBColor[0,0,1],Line[{{Re[20 a],Im[20 a]},{Re[-20 a],Im[-20 a]}}],PointSize[0.02],RGBColor[1,0,0],Point[{Re[2 a],Im[2 a]}],Point[{Re[-2 a],Im[-2 a]}]}]]

HookeHyperbola[-2+I,1.2+I]

HookeHyperbola[2+3 I,1.2+I]

Show[{%16,%17},PlotRange->{{-15,15},{-15,15}},AspectRatio->1]